Еще в эпоху Возрождения о Средних веках сложилось предубеждение как о времени темном. В "Светлых веках: Путешествии в мир средневековой науки" Себ Фальк его оспаривает. Проводником в этом путешествии служит упомянутый в отрывке английский монах Джон Вествик. Через его биографию Фальк показывает интеллектуальный ландшафт тех времен — как выясняется, совсем не пустынный.
В 1396 году монахи Сент-Олбанса наконец исправили несправедливость длиной в две сотни лет, учиненную Джеффри Горэмом. Когда Джон Вествик родился, поместье Уэствик принадлежало графу Оксфорду, фавориту Ричарда II, но в 1388 году Безжалостный парламент осудил графа Роберта за измену и конфисковал его владения. Восемь лет спустя аббат Сент-Олбанса сговорился о покупке Уэствик-Горэма за 900 марок. Чтобы собрать такую внушительную сумму, пришлось скидываться, и хронист аббатства записал имена монахов и других благодетелей, которые внесли свою лепту. Он аккуратно отметил, какую сумму выделил каждый, — с помощью римских цифр:
"Предмет: получено в порядке дарения от братии и прочих как вспомоществование для покупки владения Уэствик, как то: в дар от владыки Николаса из Редклифа, архидьякона, XL марок. В дар от господина Роджера Хенрида, ризничего, VI фунтов XIII шиллингов IIII пенса. В дар от Томаса Сайдона, слуги аббата, VI фунтов XIII шиллингов IIII пенса..."
Список содержит имена 15 жертвователей и завершается следующими строками:
"В дар от Роберта Транча XI шиллингов & VIII пенсов. Итого: L фунтов II шиллинга VIII пенсов".
Здесь римские цифры используются вперемешку с чем-то довольно близким к позиционной системе счисления: фунтами, шиллингами и пенсами. (Вавилонская позиционная система счисления сложилась на базе единиц такого же типа, приспособившись к измеряемой величине.) В шиллинге было 12 пенсов, а в фунте — 20 шиллингов. Задача усложнялась тем, что деньги считали еще и в марках: одна марка составляла 2/3 фунта, или 13 шиллингов 4 пенса. Николас из Редклифа пожертвовал 40 марок, да и Роджер Хенрид и Томас Сайдон вряд ли намеревались внести в копилку непонятные 6 фунтов, 13 шиллингов и 4 пенса, а скорее всего, выделили круглую сумму в 10 марок. Хронист аббатства суммировал все эти марки, фунты, шиллинги и пенсы и пришел к верному результату (записав его римскими цифрами): 50 фунтов 2 шиллинга и 8 пенсов.
Если такие вычисления кажутся вам каким-то арифметическим подвигом, учтите, что до денежных реформ 1960-х и 1970-х годов школьникам всей бывшей Британской империи приходилось учиться складывать и вычитать двенадцатые и двадцатые доли фунтов, шиллингов и пенсов. (Чуть ли не весь остальной мир перешел на десятичную денежную систему еще в XIX веке.) Если немного попрактиковаться, сложению и вычитанию римских чисел тоже нетрудно научиться. Для начала можно представить себе X, десятку, как единицу — I, перечеркнутую линией, обозначающей, что перед нами сумма десяти таких единиц. V (пятерка) — это десятка (X), разделенная пополам горизонтально. Элементарное сложение, например VII + XVIII, нетрудно выполнить, записав все цифры рядом и переставив их для удобства местами: VIIXVIII превращается в XVVIIIII, а отсюда легко прийти к верному результату: XXV.
На самом деле подобные примеры можно решать и в уме. Для вычислений посложнее римские цифры переводили в более гибкий формат. В своем знаменитом трактате "Об исчислении времен" живший в VIII веке монах из Нортумбрии Беда Достопочтенный — выдающийся энциклопедист — знакомит читателя с двумя способами сделать это: греческая алфавитная система и метод, который он называл "очень полезным и простым умением счета на пальцах".
Как Беда и другие монахи считали на пальцах в десятичной системе? Вытяните руки перед собой, ладонями от лица. Начинать следует слева, с трех крайних пальцев левой руки. Эти три пальца, выпрямленные или полностью либо частично согнутые, показывают единицы от 1 до 9. Вот почему целые числа назывались digiti, что на латыни означает "пальцы"; отсюда и название цифровых технологий (digital). Степени десяти отсчитывали, по-разному сгибая и скрещивая большой и указательный пальцы (латинское слово "десять" — articuli — означает "костяшки"). За сотни отвечали большой и указательный пальцы правой руки, а за тысячи — средний, безымянный и мизинец. Таким образом, пальцами можно было показать любое число от 0 до 9999. Пальцам присваивалось конкретное разрядное значение — тысячам, сотням, десяткам и единицам было выделено определенное место, поэтому сложение и вычитание больших чисел трудности не представляли, более того, этим способом можно было даже решать простейшие примеры на умножение.
Самые маленькие числа откладывали на пальцах левой руки, и тому было две причины. Во-первых, в этом случае человек, который стоит к вам лицом, читает число как полагается, то есть слева направо. Жестовая арифметика служила не только для счета, но и для коммуникации. Жесты использовали на рынках, где шум и языковой барьер могли помешать разговору, или в монастырях, где нужно было соблюдать тишину. Беда даже предлагал использовать их в качестве алфавитно-цифрового кода, позволяющего передавать тайные сообщения. Во-вторых, если вы в своих вычислениях не выходите за сотню, правая рука остается свободной, и ею можно делать заметки, куда-то указывать или что-то в ней держать. Изумительно практичная система Беды пришла прямиком из классных комнат, где монахи учились использовать руки для запоминания музыкальной грамоты и определения дат или дней солнечного и лунного циклов.
Для простых вычислений было вполне достаточно пальцев, а вот для сложных использовали calculi — камешки или фишки. Джон Вествик учился работать с числами и наверняка мастерски пользовался абаком — счетной доской. Размещение камешков на расчерченной линиями доске представляло собой разложение числа на разряды. Некоторые разновидности абаков позволяли добавить промежуточную позицию для пяти единиц, пяти десятков, пяти сотен и так далее, и тогда фишек для счета требовалось меньше. В других разновидностях сами фишки были пронумерованы цифрами от 1 до 9, и тогда абак был просто рамкой, разделяющей разряды единиц, десятков, сотен и так далее. Монахи рисовали такие рамки в книгах и манускриптах, расчерчивая их на столбцы, которые часто стилизовали под колоннады своей обители, и раскладывали там счетные фишки. В промежутки между колонками они вписывали свои вычисления.
Абаками активно пользовались вплоть до Нового времени, несмотря на широкое распространение других, более совершенных техник счета. В сочинении "Жемчужина философии", популярнейшем учебнике, написанном картезианским монахом Грегором Рейшем и выдержавшем в XVI веке 12 изданий, раздел, посвященный арифметике, начинается с гравюры, иллюстрирующей два подхода к предмету). Слева — Боэций, позднеримский теоретик свободных искусств. Еще один энциклопедист (для средневековой науки всесторонне одаренные люди не редкость), Боэций писал труды по логике, музыке и арифметике, но наибольшую известность ему принесло "Утешение философией", размышление о природе человека. Книга оставила глубокий след в веках: только на английский язык ее переводили Альфред Великий, Джеффри Чосер и Елизавета I. В этом сочинении Боэций, как многие астрономы до и после него, размышлял о необъятности Вселенной, космически малой величине Земли и холоде далеких звезд. Его присутствие на гравюре напоминает читателям, что математика — нечто большее, чем абстрактные величины.
Справа на гравюре изображена фигура равной значимости: это Пифагор. Великий греческий философ выкладывает на счетной доске числа 1241 и 82. Самая дальняя от него линия — это тысячи, следующая — сотни, и так далее, но обратите внимание: между линиями десятков и сотен выделено место для полусотен. Боэций же демонстрирует индо-арабские цифры и их преимущества для записи дробей. Между ними стоит госпожа Арифметика, ее платье украшено степенями двойки и тройки. Хотя в конечном итоге индо-арабские цифры, для операций с которыми достаточно было пера и бумаги, победили (чем они в значительной степени обязаны появлению бухгалтерского учета и сложных банковских операций), счетные доски благодаря своей бесспорной универсальности продолжали применяться и в Новое время. В умелых руках они не уступают электронным калькуляторам. В 1946 году в Токио состоялось захватывающее публичное состязание между японским абацистом и американцем, считавшим на калькуляторе. Победу одержал абацист, который в решении серии сложных математических задач продемонстрировал как невероятную скорость, так и высокую точность вычислений.
Менее опытным пользователям счетная доска могла пригодиться для записи промежуточных результатов вычислений. Средневековые математики знали множество способов упростить вычисления, разбивая задачу на серию операций, которые можно было произвести в уме или с помощью абака. Джон Вествик наверняка владел какими-то из них. Один способ, который называют по-разному: умножением по методу русских крестьян или египетским методом, был придуман независимо в нескольких странах, и ему вполне могли обучать и в Сент-Олбанской школе. Он сводит объемные и сложные примеры на умножение и деление к серии удвоений и делений пополам. Популярность этого метода может объяснить, почему в первых учебниках арифметики, использующей новые индо-арабские цифры, умножению и делению числа на два учили как отдельным операциям — чему-то среднему между сложением и умножением.
Красота метода удвоения и деления пополам — в том, что единственное, что вам нужно знать, — это как прибавить число к самому себе. Пусть вам нужно умножить 43 на 13. Запишите эти числа рядом и начинайте удваивать большее и делить пополам меньшее (отбрасывая остаток). Вот что у вас получится:
43 13
86 6 (отбрасываем остаток)
172 3
344 1 (отбрасываем остаток)
Когда разделить на два больше не получается, вычеркните строчки, в которых число в колонке деления четное (в нашем случае это 86; 6), и сложите числа, оставшиеся в первой колонке. У вас получится 43 х 13 = 43 + 172 + 344 = 559. Немного попрактиковавшись, можно научиться считать очень быстро — и, так как здесь используется устный счет, провернуть этот номер с римскими цифрами не труднее, чем с индо-арабскими. Метод работает, потому что основывается на том, что любое число можно разложить на степени двойки. Например, 43 х 13 = 43 х (1 + 4 + 8).
Мы оставляем только ряды с нечетными числами в колонке деления, потому что именно здесь мы "теряем" остаток, который нужно было бы прибавить в конце. Если вы умножаете на число, которое представляет собой степень двойки (например, 8), остатки не теряются: вы вычеркнете все строки, кроме последней, поскольку умножение на 8 представляет собой простую серию удвоений.
То же и с делением. Скажем, вы хотите разделить 729 на 34 (или DCCXXIX на XXXIV). Просто удваивайте 34 до тех пор, пока не сможете сделать это, не переходя за 729:
XXXIV (1)
LXVIII (2)
CXXXVI (4)
CCLXXII (8)
DXLIV (16) (Удваивать 544 мы не будем, чтобы не перейти за 729.)
Теперь, начиная с нижней линии, складывайте числа (выбирая большие), чтобы подобраться как можно ближе к 729 (придется немного попрактиковаться). Когда вы это сделаете, суммируйте степени двойки, указанные рядом с вашими слагаемыми, и получите ответ. Например:
DXLIV (ряд 16) + СXXXVI (ряд 4) + XXXIV (ряд 1) = DCCXIV.
Итак, 729 / 34 = 16 + 4 + 1= 21 (остаток 15).
И снова результат можно высчитать в уме, но, если бы Джон Вествик считал с помощью абака, он обнаружил бы, что римские числа прекрасно укладываются в его колонки и расшифровать ответ несложно. А вот чтобы записать итог индо-арабскими цифрами, нужно было подумать чуть дольше.
Если рука набита, никакой сложности эти приемы не представляют. Овладев ими и имея счетные доски, монахи не видели необходимости отказываться от системы, которая прекрасно служила их предшественникам. Если же в силу специфики научных интересов и занятий им приходилось то и дело умножать и делить, проще было составить таблицу умножения римских чисел, а не обучаться новой арифметике с нуля. Такие справочные таблицы и счетные доски Джон Вествик всегда держал под рукой в годы учебы в Сент-Олбанской грамматической школе. Они немало ему послужили, прежде чем растущий интерес к астрономии не заставил его перейти на новые цифры и приемы умножения, принятые в индо-арабском "алгорисмусе".